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(i) Debemos apilar 5 dados para construir el cubo de mayor tamaño.
(ii) Se necesita 121 dados cuadrados para formar el cuadrado con la mayor cantidad de dados posibles, quedando 4 dados sobrantes.
Step-by-step explanation:
(i) Sabemos por la Geometría Euclídea del Espacio que un cubo es un sólido regular con 6 caras cuadradas y longitudes iguales. Cada dado tiene un volumen de 1 dado cúbico y 125 dados dan un volumen total de 125 dados cúbicos.
El volumen de un cubo está dado por la siguiente fórmula:
[tex]V = L^{3}[/tex]
Donde:
[tex]L[/tex] - Longitud de la arista, medida en dados.
[tex]V[/tex] - Volumen del cubo, medido en dados cúbicos.
Ahora, necesitamos despejar la longitud de la arista para calcular la altura máxima posible:
[tex]L = \sqrt[3]{V}[/tex]
Dado que [tex]V = 125\,dados^{3}[/tex], encontramos que la altura del cubo de mayor tamaño sería:
[tex]L =\sqrt[3]{125\,dados^{3}}[/tex]
[tex]L = 5\,dados[/tex]
Debemos apilar 5 dados para construir el cubo de mayor tamaño.
(ii) El área cuadrada formada por cubos está determinada por la siguiente fórmula:
[tex]A = L^{2}[/tex]
Donde:
[tex]L[/tex] - Longitud de arista, medida en dados.
[tex]A[/tex] - Área, medida en dados cuadrados.
Puesto que la longitud de arista se basa en un conjunto discreto, esto es, el número de dados disponibles, debemos encontrar el valor máximo de [tex]L[/tex] tal que no supere 125 y de un área entera. Es decir:
[tex]L \leq 125\,dados[/tex]
Si cada cubo tiene un área de 1 dado cuadrado, entonces un cuadrado conformado por 125 dados tiene un área total de 125 dados cuadrados. Entonces:
[tex]L^{2}< 125\,dados^{2}[/tex]
Esto nos lleva a decir que:
[tex]L < 11.180\,dados[/tex]
Entonces, la longitud máxima del cuadrado con la mayor cantidad de cubos posible es de 11 dados. El número total requerido de cubos es el cuadrado de esa cifra, es decir:
[tex]n = (11\,dados)^{2}[/tex]
[tex]n = 121\,dados[/tex]
Se necesita 121 dados cuadrados para formar el cuadrado con la mayor cantidad de dados posibles, quedando 4 dados sobrantes.